La realización de este trabajo del curso Matemática Discreta, nos permite tener el conocimiento teórico en este auge y progreso de la informática su desarrollo y el nivel de aplicación en las estadísticas, como herramienta útil y rigurosa en el campo de la investigación.
posibles,
lo denominaremos espacio muestral y lo denotaremos normalmente
mediante la letra E. Los elementos del espacio muestral se denominan
sucesos elementales.e1, e2 2 E =) e1, e2 son sucesos elementales.
Dados
dos sucesos aleatorios A,B _ E, se denomina suceso intersección de A
y B al conjunto formado por todos los sucesos elementales que
pertenecen a A y B a la vez.
Consiste en realizar
un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso
ocurre o no siendo P la probabilidad de que esto sea así (éxito) y
q= 1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más de
una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos
modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito ó fracaso a
los posibles resultados de la prueba obedece más una tradición
literaria ò histórica, en el estudio de la vía, que a la situación
real que pueda derivarse del resultado.
Podríamos por tanto
definir este experimento mediante una v.a. discreta x que toma los
valores x = 0 si el suceso no ocurre y x = 1 en caso contrario y que
se denota
Un
ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en
lanzar una moneda al aire y considerar la vía.
Variables
aleatorias
Definición
de variable aleatoria
Concepto
intuitivo
Una
variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está
afectado por el azar. Dada una variable aleatoria
no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser
medida o determinada, aunque sí se conoce que
existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de
valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de
cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no
(suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va
a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de
que la persona enferme.
Para
trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es
necesario considerar un gran número de experimentos
aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los
resultados de modo que se asigne un número real
a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo
se establece una relación funcional entre
elementos
del espacio muestral asociado al experimento y números reales.
● Una
variable
aleatoria
es una variable que toma valores numéricos determinados por el
resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la
variable aleatoria con sus posibles valores. Ejemplos:
nº
de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)
nº
de llamadas que recibe un teléfono en una hora
tiempo
que esperan los clientes para pagar en un supermercado…
● Las
variables aleatorias pueden ser discretas
o continuas:
Discretas:
el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas
a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.
Continuas:
el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos
los valores de un intervalo. Son el resultado de medir.
Ejemplo:
Ejercicio 15.2 de Peña y Romo
Clasificar
como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias:
nº
de páginas de un libro → discreta
tiempo
que tarda en fundirse una bombilla → continua
nº
de preguntas en una clase de una hora → discreta
cantidad
de agua consumida en un mes → continua
En
la práctica se consideran discretas
aquellas variables para las que merece la pena asignar probabilidades
a todos los posibles sucesos elementales.
Distribución
de una variable aleatoria
● Sea
x
una variable
aleatoria discreta.
Su distribución viene dada por los valores que puede tomar, x1,
x2,
x3,
…,
xk,
y las probabilidades de que aparezcan p1,
p2,
p3,
…,
pk.
Estas cantidades reciben el nombre de Pi=P{X=Xi} función
de probabilidad
o función
de masa.
Ejemplo:
Variable
aleatoria x=nº
de caras al lanzar tres veces una
moneda
Posibles
valores de x:
0, 1, 2 y 3
Lanzar
3 veces moneda:
E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}
La
variable aleatoria x:
Toma
valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX}
Toma
valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX}
Sea
“B” un suceso cualquiera con una probabilidad no nula y A1, A2,
A3….An una partición del espacio muestral (Esto es un conjunto de
sucesos incompatibles dos a dos y cuya unión en el espacio muestral)
se tiene:
P(B)
= P(B/A1) P(A1)+P(B/A2) PA2)+P(B)
Asignación
de Probabilidades:
En
la teoría axiomática de probabilidades en ningún lado te dicen
cómo asignar las probabilidades sino sus propiedades y el cálculo
de probabilidades compuestas. En algunos casos se usan modelos
adecuados para cada caso si los hubiere, por ejemplo el modelo de
Bernoulli, el modelo de Poisson, el modelo de la distribución
Normal, etc. Pero en la mayoría de los casos no hay un modelo
adecuado para el caso en estudio. Se definen entonces las
probabilidades empíricas. En la práctica se debe usar alguna de
las definiciones que históricamente fueron apareciendo: 1)
Definición clásica. Si se quiere calcular la probabilidad de un
evento A se utiliza p(A) = Casos favorables/casos posibles
Válida sólo si todos los casos son igualmente posibles. Por
ejemplo arrojo un dado normal y quiero la probabilidad de que salga
un 3: P(3)=1/6 2) Definición empírica: Se repite la
experiencia y se cuenta las veces en que ocurrió el evento A para el
que se quiere calcular la probabilidad, llamémoslo NA entonces si se
repite N veces el experimento: p(A)= NA/N cuando N tiende a
infinito No es un límite matemático sino un límite en
probabilidad, pero en la práctica significa que la probabilidad se
calcula para un N grande. Si quiero calcular la probabilidad de
que una pieza salga fallada de un proceso produzco N y cuento cuántas
salieron falladas NF: Si N es grande entonces: P(F)= NF/N c)
probabilidades subjetivas. Se usa cuando no se pueden aplicar las
anteriores y viene de la subjetividad del que la calcula, usa
experiencia e intuición. Por ejemplo cuál es la probabilidad de que
un equipo de fútbol gane un partido dado. Hay escuelas que se niegan
a usarla y así nacieron los Bayesianos que la aceptan y los no
Bayesianos que la niegan. No es que discutan el problema de Bayes
sino que los no Bayesianos no permiten usar probabilidades "a
priori" subjetivasen la fórmula de Bayes. Si las variables
son discretas se halla la probabilidad de cada valor con alguna de
las definiciones, obteniéndose la distribución de probabilidades
correspondiente. Si las variables son continuas, se debe hacer un
histograma con frecuencias relativas y tomar N grande y el ancho de
clase pequeño. Si uno sospecha que una variable responde a una
distribución conocida se puede usar el test llamado Bondad de Ajuste
para verificar la sospecha.
Dos
sucesos A y B se dicen que son independientes si la realización de
uno de ellos no influye en la probabilidad de ocurrencia del otro.
P(A/B)
= P(A) ò bien P (B/A) =P (B)
El
cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de
los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística
inductiva o inferencial.
Para
trabajar con el cálculo de probabilidades es necesario fijar
previamente ciertas terminologías.
Dado
un suceso A, la probabilidad de que ocurra este suceso se obtiene
dividiendo el número de casos en que ocurre el suceso A entre el
numero de casos posibles. (Solo para experimentos cuyos sucesos son
equipo probables), Regla de Laplace.
P(A)
= nº de casos favorables / nº
de casos posibles
Definición
de Probabilidad Frecuentista:
La
probabilidad de ocurrencia de un suceso es el limite, cuando el
numero de veces que se realiza el experimento es suficientemente
grande del numero de veces que ocurre el suceso entre el número
total de realizaciones del experimento.
Definición
de Probabilidad Axiometrica:
Dado
un experimento aleatorio y su espacio muestral “E”, una
aplicación que asocia a cada suceso un numero real es una
probabilidad si verifica los siguientes axiomas:
Para
cualquier suceso “A” se verifica que su probabilidad es un
número real negativo.
La
probabilidad del suceso seguro vale 1
Dados
A1, A2, A3,….sucesos incompatible, se verifica que la probabilidad
de la unión es igual a la suma de las posibilidades de los sucesos
Probabilidad
Condicionada.
Dado
un suceso “B” con Probabilidad no nula, a la probabilidad de que
ocurra el suceso “A”, una vez que el suceso “B” haya
ocurrido, se le llama probabilidad de “A” condicionada a “B”se
denota como P(A/B) y se calcula:
Las
variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un
conjunto teniendo en cuenta que: la selección de elementos, orden en
que se colocan y la repetición de elementos.
Se
llama variaciones
ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n)
a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
No
entran todos los elementos.
Sí
importa el orden.
No
se repiten los elementos.
También
podemos calcular las variaciones
mediante factoriales:
Las
variaciones
se denotan por
Ejemplo:
Si
tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formar grupos ordenados de 3
de ellos de muchas maneras:
cada
grupo ordenado decimos que es una variación de estos 5 elementos de
orden 3, o también, tomados de 3 en 3.
Solución:
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n! r! (n – r)!
Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
r! (n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.
m=
5
n=3
sin
repetición
El
número de variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 se denota por
V5 3 y equivale a
En una permutación, el orden de los objetos
de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no
es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación.
Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2
personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el
equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden,
los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo
no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los
resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son
los siguientes:
Permutaciones:
AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones:
AB, AC, BC
Combinaciones:
Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n
objetos sin importar el orden. La fórmula de combinaciones es:
n C r = n!
r! (n – r)!
Ejemplo: En una compañía
se quiere establecer un código de colores para identificar cada una
de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un
total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga
una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este
código de colores para identificar las 42 partes del
producto? Usando la fórmula de combinaciones:
n
C r = n! = 7! = 7! = 35
r!
(n – r )! 3! (7 – 3)! 3! 4!
El
tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar
las 42 partes del producto.
A diferencia de la formula de la
multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles
arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un
arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n
objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c
son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar
el numero total de permutaciones distintas es:
FÓRMULA:
n P r = n! (n - r)
Ejemplo: ¿Como se puede designar los
cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15
participantes? Aplicando la formula de la permutación tenemos:
n
P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1
(15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760
Donde:
n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!=
factorial, producto de los números naturales entre 1 y n. NOTA:
se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en
numerador y denominador. !
Si
se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas
alternativas para ser realizada, donde la primera de esas
alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda
alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última
de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,
entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M
+ N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos:
1)
Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha
pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y
General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la
lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11
kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta
en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores
diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de
la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11
kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática.
¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M =
Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N =
Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W =
Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General
Electric
M
= 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N =
3 x 2 x 2 = 12 maneras
W =
1 x 2 x 1 = 2 maneras
M
+ N + W = 16 + 12 + 2 = 30
maneras de seleccionar una lavadora
Si
se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el
primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de
N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el
r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede
ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada
uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno
tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el
evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así
sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras
diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede
suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a
producto.
N1x
N2x
..........x Nrmaneras
o formas
Ejemplo: Se
dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar
de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y
vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12
El
principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método
general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro
de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo
son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.
Si
un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha
ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el
número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden
ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.
¿De
cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10
personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un
premio?
Aplicando
el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden
recibir el primer
premio.
Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir
el segundo, y
posteriormente
quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de
maneras
distintas
de repartir los tres premios.
n
10
x 9 x 8 = 720
¿Cuántas
placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas
de tres cifras? No se
admiten
repeticiones.
26
x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
n
un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se
llama factorial de n.
El
símbolo ! se lee
factorial
y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n;
es decir, sea
n
5!
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por
definición 0! = 1
Si
el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es
relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados.
Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Si,
sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el
número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería
tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades
serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños
y 3 niñas, etc.
Para
facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:
*
La técnica de la multiplicación
*
La técnica aditiva * La técnica de la suma o Adición
