Distribución de Bernouilli.

Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no siendo P la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q= 1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito ó fracaso a los posibles resultados de la prueba obedece más una tradición literaria ò histórica, en el estudio de la vía, que a la situación real que pueda derivarse del resultado.

Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta x que toma los valores x = 0 si el suceso no ocurre y x = 1 en caso contrario y que se denota 

Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una moneda al aire y considerar la vía.

Variables aleatorias

Definición de variable aleatoria

Concepto intuitivo

Una variable aleatoria puede concebirse como un valor numérico que está afectado por el azar. Dada una variable aleatoria no es posible conocer con certeza el valor que tomará esta al ser medida o determinada, aunque sí se conoce que existe una distribución de probabilidad asociada al conjunto de valores posibles. Por ejemplo, en una epidemia de cólera, se sabe que una persona cualquiera puede enfermar o no (suceso), pero no se sabe cuál de los dos sucesos va a ocurrir. Solamente se puede decir que existe una probabilidad de que la persona enferme.

Para trabajar de manera sólida con variables aleatorias en general es necesario considerar un gran número de experimentos aleatorios, para su tratamiento estadístico, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De este modo se establece una relación funcional entre

elementos del espacio muestral asociado al experimento y números reales.

● Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. Ejemplos:

• nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)
• nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora
• tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado…

● Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas:

• Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.
• Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir.

Ejemplo: Ejercicio 15.2 de Peña y Romo

Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias:

1. nº de páginas de un libro → discreta
2. tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continua
3. nº de preguntas en una clase de una hora → discreta
4. cantidad de agua consumida en un mes → continua

En la práctica se consideran discretas aquellas variables para las que merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles sucesos elementales.

Distribución de una variable aleatoria

● Sea x una variable aleatoria discreta. Su distribución viene dada por los valores que puede tomar, x₁, x₂, x₃, …, x_k, y las probabilidades de que aparezcan p₁, p₂, p₃, …, p_k. Estas cantidades reciben el nombre de Pi=P{X=Xi}  función de probabilidad o función de masa.

Ejemplo:

Variable aleatoria x=nº de caras al lanzar tres veces una

moneda

Posibles valores de x: 0, 1, 2 y 3

Lanzar 3 veces moneda:

E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}

La variable aleatoria x:

• Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX}
• Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX}
• Toma valor 2 cuando {CCX,CXC,XCC}
• Toma valor 3 cuando {CCC}

La función de probabilidad es:

P0 = P{x=0} = 1/8 = 0,125
P1 = P{x=1} = 3/8 = 0,375
P2 = P{x=2} = 3/8 = 0,375
P3 = P{x=3} = 1/8 = 0,125

Función de probabilidad de x:

¿Cuál será la probabilidad de que salgan al menos dos caras?